Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nul

 NAMA               : KEVIN NUGRAHA SANTIKA PERMANA

NIM                    : 202231017

KELAS               : A

PRODI                : TEKNIK INFORMATIKA 

MATA KULIAH : ALJABAR LINIER

Definisi

Misalkan matriks m x n :

Vektor-vektor 

Pada Rn yang dibentuk dari baris-baris matriks A disebut sebagai vektor baris.

Sedangkan vektor-vektor

Pada Rm yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A disebut sebagai matriks kolom. 

Definisi

Jika A adalah matriks m x n maka subruang dari Rn yang di rentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen AX=0 yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang null dari A.

Teorema 

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang ekuivalen baris, maka 

a.) Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu adalah bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersesuaian dari B adalah bebas linear.

b.) Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B. 

Teorema 

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk Suatu basis untuk ruang kolom dari R. 

Teorema 

Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama. 

Definisi 

Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A (notasi : rank(A)); dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas dari A (notasi : nulitas(A)).

Teorema 

Jika A adalah matriks dengan 𝑛 kolom, maka

𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 + 𝑛𝑢𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝐴 = n

                     null(A) = n - rank(A)

                     null(A) = n - nulitas(A)

Misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh : 

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE 

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : 

 

Rank (A) = 2 

Basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE 

pada AT sehingga diperoleh : 

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama bersesuaian dengan matriks  AT 

Ini berarti, 

matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : 

rank(A) = 2

nulitas (A) = n - rank (A) 

                  = 4 - 2 

                  = 2